طريقة قابلة للضبط ذات معلمة واحدة، خالية من المشتقات، من نمط القاطع، ذات تقارب تربيعي لحل المعادلات غير الخطية

الملخص

تلعب المعادلات غير الخطية دورًا محوريًا في طيف واسع من المجالات العلمية والتطبيقية، غير أن التوصل إلى حلول تحليلية مغلقة الصيغة لها غالبًا ما يكون متعذرًا. وتظل الطريقة القاطعة التقليدية من الأساليب الشائعة الاستخدام، كونها لا تتطلب حساب المشتقة، إلا أن معدل تقاربها فوق الخطي قد يكون بطيئًا نسبيًا. ولتجاوز هذا القصور، نقدّم في هذا البحث طريقة معدّلة من نوع القاطعة تحافظ على بساطة الخوارزمية الأصلية، ولا تتطلب سوى تقريبين ابتدائيين، وتتضمن معلمة واحدة قابلة للضبط. ويُظهر تحليل التقارب أن الطريقة المقترحة تحافظ على التقارب فوق الخطي في الحالة العامة، وتحقق تقاربًا تربيعيًا عندما تؤول المعلمة إلى الواحد. كما تُظهر التجارب العددية، التي أُجريت على مجموعة متنوعة من المعادلات غير الخطية وباستخدام عدة تقريبات ابتدائية، أن الطريقة تتقارب بكفاءة وموثوقية نحو الجذر الدقيق، خلافًا لطريقة نيوتن والطريقة القاطعة ذات النقاط الثلاث، اللتين تفشلان في التقارب في بعض الحالات. علاوة على ذلك، بالنسبة للمعادلات ذات الجذور المتعددة، فإن تثبيت التقريبات الابتدائية مع تغيير قيمة المعلمة يؤدي إلى تقارب الطريقة نحو جذور مختلفة، مما يبرز دور هذه المعلمة في تشكيل أحواض الجذب. وبالجمع بين بساطة الطريقة القاطعة الخالية من المشتقة ومعدلات تقارب مماثلة لتلك التي تحققها طريقة نيوتن والطريقة القاطعة ذات النقاط الثلاث، توفر الطريقة المقترحة أداة قابلة للضبط وفعّالة وموثوقة لحل المعادلات غير الخطية.